Uma janela de norman tem a forma de um retangulo encimado por um semicirculo?

Uma janela de norman tem a forma de um retângulo, encimado por um semicírculo (assim a largura de um retângulo é igual ao diâmetro do semicírculo). Se o perímetro da janela é de 30 metros, encontre as dimensões da janela para que a maior quantidade possível de luz é admitida.
Eu estou fazendo um teste de prática de calc e não consigo descobrir este problema, alguém pode me ajudar.

Resposta

Quando ele diz "de modo que a maior quantidade possível de luz é admitida" significa encontrar a área máxima possível.

Deixe x ser a largura, que é igual ao diâmetro do semicírculo.

Então o perímetro em torno apenas do semicírculo é pi (1/2) x.

Deixe y a altura da porção retangular da janela.

Perímetro em torno de apenas a parte retangular da janela é x + 2 y.

O perímetro total é (1/2) pi x + x + 2y = 30

Resolver esta equação para y:

2y = 30 - pi (1/2) x - x

y = 15 - pi (1/4) x - x / 2

Em seguida, a área da porção retangular é xy.

A área do semicírculo é (1/2) pi (x / 2) ^ 2.

Área total = A = (1/2) pi (x / 2) ^ 2 + xy

Substitua a expressão de y encontrado acima esta última equação:

A = (1/2) pi (x / 2) ^ 2 + x (15 - pi (1/4) x - x / 2)

Simplificar e combinar como termos:

A = x ^ x 2(-pi-4)/8 + 15

Tomar a derivada e configurá-lo para zero:

A' = (1/4) (-4-pi) x + 15 = 0

Resolver para x:

(1/4) (-4-pi) x = -15

Multiplica por -4:

(pi 4++) x = 60

Divida:

x = 60 / (pi 4++) ˜ ft 8.4

y = 15 - pi (1/4) x - x / 2 = 30 / (pi 4++) ˜ 4,2 metros

Comentários

Sofia na 13 Ago 2023

Claro, posso te ajudar com isso. Para encontrar as dimensões da janela de forma que a maior quantidade possível de luz seja admitida, podemos começar calculando o perímetro da janela. O perímetro é a soma de todos os lados, no caso, dos quatro lados do retângulo mais a circunferência do semicírculo.

Assim, se chamarmos de x a altura do retângulo e de y a largura do retângulo (que é igual ao diâmetro do semicírculo), podemos montar a equação:

2x + 2y + py = 30

Precisamos encontrar os valores de x e y que satisfaçam essa equação. Você pode começar resolvendo a equação para x em termos de y e depois usando o método de substituição. Isso deve te dar as dimensões da janela que permitem a maior quantidade de luz. Espero que isso te ajude a resolver o problema!

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